INTEGRAL LIPAT DUA DAN PENERAPAN FISISNYA PADA PERHITUNGAN MOMEN INERSIA

INTEGRAL LIPAT DUA DAN PENERAPAN FISISNYA

PADA  PERHITUNGAN MOMEN INERSIA

1)     Mahasiswa Jurusan Pendidikan Matematika

Fakultas Matematika dan IPA

Universitas Negeri Gorontalo

ABSTRAK

In this papers, generally of speaking will discussion  about definition of double integrals and form the application as used in of  the physical property in case of  moment of inertia and as well as the some examples.. This papers will discussion and showing how to make arrangements for integrals in calculation the moment of inertia, in particular of double integrals.

Keyword : integral, integral lipat dua, moment of inertia.

1.     PENDAHULUAN

Usaha pemecahan tentang luas telah menuju ke pendefinisian integral tentu. Dalam berbagai cara yang sama, sekarang kita mencoba mencari volume benda pejal dan dalam prosesnya kita sampai pada definisi integral lipat dua.

Telaah kembali tentang materi dasar yang berkenaan dengan integral tentu dari fungsi peubah tunggal. Jika f(x) didefinisikan sebagai a , artinya kita membagi selang  menjadi menjadi n selang bagian  berlebar sama x = (b - a)/n dan kita pilih titik-titik sampel x, dalam selang bagian ini. Kemudian kita bentuk jumlah Riemann:

 

            Dan mengambil limit jumlah tersebut seraya n    untuk mendapatkan integral tentu f dari a ke b :

Dalam kasus khusus dengan  0, jumlah Riemann dapat ditafsirkan sebagai jumlah luas segiempat penghampir dalam gambar di bawah dan  menyatakan luas daerah di bawah kurva y = f(x) dari a ke b.

2.     INTEGRAL LIPAT DUA

Dalam cara yang serupa, kita tinjau fungsi dua peubah f yang didefinisikan pada segiempat tertutup. Untuk integral lipat dua dari fungsi dengan dua peubah pembatasannya adalah bahwa fungsi dua peubah tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2. Yang dimaksud daerah tertutup disini adalah daerah beserta dengan batas-batasnya. Apabila dikatakan daerah, maka yang dimaksud adalah daerah tertutup.

Kita tinjau fungsi dua peubah f yang didefinisikan pada segiempat tertutup. Misalkan fungsi z = f(x,y) didefinisikan pada suatu daerah tertutup R di bidang xoy.

Dan mula-mula kita misalkan f(x, y)  0. Grafik f adalah permukaan dengan persamaan . Misalkan S adalah benda pejal yang terletak di atas R dan di bawah grafik f, yakni:

(Lihat gambar di samping) tujuan kita adalah mencari volume S. Langkah pertama adalah membagi segiempat R menjadi beberapa bagian. Kita lakukan ini dengan membagi selang  menjadi m selang bagian  berlebar sama  dan dengan membagi  menjadi n selang bagian  berlebar sama .

Dengan menarik garis-garis sejajar terhadap sumbu koordinat melalui titik ujung selang bagian dalam bentuk segiempat bagian.

   =

masing- masing dengan luas

Jika kita pilih salah satu titik sampel  dalam masing- masing  maka kita dapat menghampiri bagian S yang terletak di atas masing- masing  menggunakan kotak segiempat tipis (atau kolom) dengan alas dan tinggi .

Maka voleme kotak adalah tinggi kotak kali luas segiempat alas :

   =  

Dapat dilihat maka  untuk semua segiempat jika ditambahkan volume kotak yang berkaitan , maka volume total S hampir diperoleh.

 

Intuisi kita memberitahu bahwa hampiran yang diberikan menjadi lebih baik begitu m dan n menjadi lebih besar, sehingga diharapkan menjadi :

 

Jika  maka volume V dari benda pejal yang terletak di atas segiempat R dan di bawah permukaan  adalah

 

Ø   

Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk :

a.     

dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable y konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap y.

b.    

dimana integral yang ada dalam kurung harus dihitung terlebih dahulu dengan menganggap variable x konstanta, kemudian hasilnya diintegral kembali terhadap x.

Jika integral lipat dua di atas ada, maka (a) dan (b) secara umum akan memberikan hasil yang sama.

Contoh :

1.     Hitung luas daerah yang dibatasi oleh x + y = 2 dan 2y = x + y

Penyelesaian :

         

2.     Tentukan volume V suatu benda padat di bawah permukaan  dan di atas persegi panjang  

Penyelesaian :

3.     Carilah volume benda pejal yang terletak di bawah paraboloid  dan di atas daerah D di bidang –xy yang dibatasi oleh garis y = 2x serta parabola y = x².

Penyelesaian :

                     

Karena itu, volume di bawah  dan di atas D adalah

4.     PENERAPAN INTEGRAL LIPAT DUA PADA MOMEN INERSIA

Pada saat mempelajari hukum Newton, diketahui bahwa ukuran kelembaban benda pada gerak translasi adalah massa. Perhatikan pergerakan planet pada porosnya. Planet-planet terus berputar pada sumbunya tanpa berhenti akan selalu mempertahankan keadaan untuk terus berotasi. Dengan demikian, pada gerak rotasi dikenal istilah kelembaban.

Besaran pada gerak rotasi yang analog dengan massa pada gerak translasi dikenal dengan momen inersia(I). Perbedaan nilai antara massa dan momen inersia adalah besar massa suatu benda hanya bergantung pada kandungan zat dalam benda tersebut, sedangkan besar momen inersia tidak hanya bergantung pada jumlah zat tetapi juga dipengaruhi oleh bagaimana zat tersebut terdistribusi pada benda tersebut. Materi tentang energi kinetik (kinetic energy), dari sebuah partikel dengan massa m dan kecepatan v yang bergerak dalam sebuah garis lurus dirumuskan dengan :

Jika sebagai pengganti bergerak sepanjang suatu garis lurus,partikel berputar terhadap suatu sumbu dengan suatu kecepatan sudut (angular velocity) sebesar , maka kecepatan liniernya adalah v = r , dengan r merupakan radius lintasan yang berbentuk lingkaran. Ketika disubtitusikan ke persamaan energi kinetik, maka:

Maka, dari sebuah pertikel yang berputar dapat dituliskan:

Momen inersia (moment of inertia) dari partikel bermassa m terhadap sumbu didefinisikan sebagai mr² , dengan r adalah jarak deri partikel ke sumbu. Dari persamaan tersebut dapat disimpulkan bahwa momen inersia dari benda dalam gerak berputar memiliki peranan yang serupa dengan massa benda dalam gerak linear.

Kita perluas konsep ini terhadap lamina dengan fungsi kerapatan  dan menempati daerah D denagn cara melanjutkan prosesnya seperti yang kita lakukan pada mmomen biasa. Kita membagi D menjadi segiempat-segiempat kecil, menghampiri momen inersia masing-masing segiempat bagian terhadap sumbu –x dan mengambil limit jumlah pada saat banyaknya segiempat bagian menjadi besar. Hasilnya adalah momen inersia lamina terhadap sumbu –x :

Secara serupa, momen inersia terhadap sumbu –y adalah

           

Untuk suatu sistem n partikel pada suatu bidang yangbermassa m_1, m_2,…..,m_n  dan yang berjarak r_1, r₂,…._,r_n dari garis L, makamomen inersia sistem itu terhadap L didefinisikan sebagai:

Dengan kata lain kita tambahkan momen – momen inersia dari setiap partikel. Sekarang kita perhatikan lamina dengan kerapatan  yang mencakup suatu daerah S dari bidang xy. Jika kita partisikan S, aproksimasi momen inersia tiap keping R_k, tambahkan dan ambil limit maka rumus momen inersia lamina terhadap sumbu – sumbu x,y dan z dinyatakan dengan:

 

Perhatikan masalah penggantian suatu sistem massa umum yang massa totalnya m oleh sebuah titik tunggal bermassa m dengan momen inersia I yang sama terhadap suatu garis L, sehingga didapat rumus sebagai berikut :

Sebuah jari-jari perputaran (radius of gyration) dari suatu sistem. Jadi energi kinetik dari sistem yang berputar mengelilingi L dengan kecepatan sudut adalah :

 

 

                                                                                                             

            Contoh :

1.     Tentukan momen inersia terhadap sumbu x, y dan z untuk  lamina dengan kerapatan   yang dibatasi oleh sumbu x, garis x = 8 dan kurva

Penyelesaian

S

                                                        

                             

                              Material tak homogen

               Penyelesaian :

2.     Diketahui kurva  dari x = 0 sampai x = 1, hitunglah momen inersia terhadap sumbu x, y dan z dengan kerapatan   = xy.

Penyelesaian :

Kita peroleh dM = xy dydx. Jarak dari dM  ke sumbu x adalah y (Lihat gambar).  Demikian pula, jarak dM  ke sumbu y adalah x. Jarak  dM  ke sumbu -z (sumbu z tegak lurus kertas pada gambar) adalah  

 

Elemen dari suatu luasan, seperti metode integral lipat dA = dy dx. Karena kerapatan = xy, massa elemen adalah dM = xy dy dx. Maka ketiga momen inersia terhadap ketiga sumbu koordinat :

5.     KESIMPULAN

Ø  Integral lipat dua merupakan integral dari fungsi dengan dua peubah , dengan batasan bahwa fungsi dua peubah tersebut terdefinisi pada suatu daerah tertutup di R2.

Ø  Untuk menghitung integral lipat dua dapat digunakan integral berulang yang ditulis dalam bentuk :

Ø  Besaran pada gerak rotasi yang analog dengan massa pada gerak translasi dikenal dengan momen inersia(I). Momen inersia (moment of inertia) dari partikel bermassa m terhadap sumbu yang diberikan didefinisikan sebagai mr² , dengan r adalah jarak deri partikel ke sumbu.

Ø  Rumus momen inersia lamina terhadap sumbu – sumbu x, y dan z dinyatakan dengan:

 

6.     DAFTAR PUSTAKA

http://ocw.mit.edu/terms. MIT18_02SC notes_23. Diakses tanggal

01/29/2011 : 03.37 pm

             http://id.wikipedia.wiki/org/integral-lipat-dua Diakses tanggal 01/29/2011

Purcell, Verberg, Rigdon. 2004. Kalkulus Edisi Kedelapan Jilid 2.

Jakarta : Erlangga

Stewart, James. 2003. Kalkulus Edisi Keempat Jilid 2. Jakarta : Erlangga

Umar, Efrizon. 2007. Fisika dan Kecakapan Hidup. Jakarta : Ganeca